Rangkuman Materi Polynomial dan contoh soalnya
Rangkuman Materi Polynomial dan contoh soalnya - Hallo semuanya Pembaca Berita, Pada postingan berita kali ini yang berjudul Rangkuman Materi Polynomial dan contoh soalnya, telah di posting di blog ini dengan lengkap dari awal lagi sampai akhir. mudah-mudahan berita ini dapat membantu anda semuanya. Baiklah, ini dia berita terbaru nya.
Judul Posting : Rangkuman Materi Polynomial dan contoh soalnya
Link : Rangkuman Materi Polynomial dan contoh soalnya
Anda sedang membaca posting tentang Rangkuman Materi Polynomial dan contoh soalnya dan berita ini url permalinknya adalah https://nyimakpelajaran.blogspot.com/2016/10/rangkuman-materi-polynomial-dan-contoh.html Semoga info lowongan ini bisa bermanfaat.
Judul Posting : Rangkuman Materi Polynomial dan contoh soalnya
Link : Rangkuman Materi Polynomial dan contoh soalnya
1. Bentuk umum polynomial derajat n : P(x) = aₔxⁿ + aₔ₋₁xⁿ⁻ⁱ + an₋₂xⁿ⁻² + … + a₂x² + a₁x + a₀
2. Penjumlahan dan pengurangan : f(x) = 2x⁴ - 3x² + 5x – 6, g(x) = 2x³ - 7x + 10
f(x) + g(x) => 2x⁴ + 0x³ – 3x² + 5x – 6
0x⁴ + 2x³ + 0x² - 7x + 10 +
2x⁴ + 2x³ – 3x² – 2x + 4
3. Menentukan nilai polynomial :
a. Dengan cara substitusi :
contoh : Tentukan nilai dari P(x) = 3x⁴ + 2x² - 5x + 6 untuk x = 2
Jawab : nilai polynomial untuk x = 2 => P(2) = 3(2)⁴ + 2(2)² - 5(2) + 6 = 48 + 8 – 10 + 6 = 52
b. Dengan skema :
| 3 0 2 -5 6
2 | 6 12 28 46 +
3 6 14 23 |52 ==> P(2)
Suku banyak f(x) = 2x⁵ – 3x⁴ + 2x³– px + 10, untuk x = 2 adalah f(2) = 38. Berapakah nilai p?
| 2 -3 2 0 -p 10
2 | 4 2 8 16 2(-p+16) +
2 1 4 8 -p+16 |10 – 2p + 32 ==> f(2)
f(2) = 42 – 2p ==> 38 = 42 – 2P <=> 2P = 4 <=> P = 2
4. Pembagian suku banyak
P(x) : B(x) = H (x) + S ==> P(x) => polynomial; B(x) => pembagi; H(x) => hasil bagi; S => sisa
pembagian Sisa pembagian oleh (x - k) terhadap P(x) = aₔxⁿ + aₔ₋₁xⁿ⁻ⁱ + an₋₂xⁿ⁻² + … + a₂x² + a₁x +
a₀ adalah P(x) => P(x) = (x – k)H(x) + S; dimana S = P(k)
Contoh 1 : (x³ - 7x² + 4x + 50) : (x – 3) = x² - 4x – 8 dengan sisa = 26
Cara 1 pembagian bersusun :
x² - 4x - 8 => hasil pembagian
x-3 | x³ - 7x² + 4x + 50
| x³ - 3x²-
- 4x² + 4x
- 4x² + 12x -
-8x + 50
-8x + 24 -
26; ==> sisa pembagian
Cara 2 :
3 | 1 -7 4 50
| 3 -12 -24 +
1 -4 -8 | 26 ==> sisa pembagian
Hasil pembagian: 1x² - 4x – 8
Cara 3 :
Sisa pembagian oleh x – 3 => x = 3 => sisa = P(3)
P(x) = x³ - 7x² + 4x + 50 = 3³ - 7.3² + 4.3 + 50 = 27 – 63 + 12 + 50 = 26
Contoh 2 : (x³ - 7x² + px + 50) : (x – 3) sisa 26, tentukan nilai p
Jawab :
Sisa = P(3) => 26 = 3³ - 7.3² + p.3 + 50
<=> 26 = 27 – 63 + 3p + 50
<=> 26 = 14 + 3p <=> 3p = 12 <=> p = 4
b. Pembagian suku banyak oleh (ax + b)
P(x) : (ax + b) <=> P(x) = (x + b/a) H(x) + sisa <=> P(x) = 1/a (ax + b)[H(x)/a] + sisa <=> P(x) = (ax + b)H(x) + sisa
Contoh : Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari (4x³ - 10x² + 14x – 15) : (2x – 5)
Jawab :
x = 5/2 | 4 -10 14 -15
| 10 0 35
4 0 14 |20 => sisa
Hasil bagi : (4x2+0x+14)/2=2x2+7
c. Pembagian suku banyak oleh ax2+bx+c dengan a≠0
= (px + q)(rx + t).H(x) + (A₁x + A₀)
Untuk x = -q/p diperoleh P(-q/p) = 0.H(x) + (-q/pA₁ + A₀) => P(-q/p) = -q/pA₁ + A₀
Untuk x = -t/r diperoleh P(-t/r) = 0.H(x) + (-t/rA₁ + A₀) => P(-t/r) = -t/rA₁ + A₀
Dengan eliminasi dapat diperoleh nilai A1 dan Ao (sisa pembagian)
Contoh : Tentukan hasil pembagian dan sisa dari : (x³ - x² + 4x – 4) : (x² - 1)
Jawab :
(x³ - x² + 4x – 4) : (x² - 1) = (x³ - x² + 4x – 4) : (x - 1)(x + 1)
x = 1 | 1 -1 4 -4
| 1 0 4 +
1 0 4 |0 => sisa => 1 A₁ + A₀ = 0
x = -1 | 1 -1 4 -4
| -1 2 -6 +
1 -2 6 |-10 => sisa => -1A₁ + A₀ = - 10
Eliminasi :
1 A₁ + A₀ = 0
-1 A₁ + A₀ = -10 +
0 +2A₀ = -10
A₀ = -5 => 1A₁ + -5 = 0 => A₁ = 5 Jadi sisa pembagiannya = 5x – 5
Hasil pembagiannya :
x – 1 => hasil pembagian
x² - 1 | x³ - x² + 4x – 4
x³ - x -
-x² + x
-x² + 1 -
x – 1 – 4 => sisa pembagian
Contoh 2 : (2x⁴ – 3x³ + 5x² + x – 7) : (x² – x + 3) = …
Karena pembagi x² – x + 3 tidak dapat difaktorkan maka :
2x² – x => hasil pembagian
x² - x + 3 | 2x⁴ – 3x³ + 5x² + x – 7
2x⁴ - 2x³ + 6x² -
- x³ - x² + x
- x³ - x² - 3x -
- 2x –7 => sisa pembagian
Teorema Sisa
Jika suku banyak P(x) yang berderajat n dibagi dengan (ax + b) maka sisanya adalah P(-b/a)
Jika suku banyak P(x) yang berderajat n dibagi dengan (x – a)(x – b) maka sisanya adalah A₁x + A₀ dimana P(a) = A₁a + A₀ dan P(b) = A₁b + A₀
Teorema Faktor
(ax + b) adalah factor dari P(x) jika P(-b/a) = 0
Jika P(p) = 0 maka p adalah pembagi a₀
Diketahui, P(x) suku banyak dengan bentuk: P(x) = aₔÿⁿ + aₔ₋₁ÿⁿ⁻ⁱ + an₋₂ÿⁿ⁻² + … + a₂ÿ² + a₁ÿ + a₀, (x – k) adalah factor linear P(x) berderajat n maka persamaan P(x) = 0 maksimum mempunyai n buah akar.
Contoh 1: Tentukan akar-akar persamaan x² – 2x – 3 = 0
Jawab :
Kemungkinan akar dari persamaan adalah pembagi bulat dari a₀ => pembagi bulat dari – 3 adalah 1, - 1, 3, -3. Karena P(x) berderajat 2 maka paling banyak akar dari p(x) adalah 2.
Contoh 2: Tentukan akar-akar persamaan 2x² – x – 3 = 0
Jawab :
2x² – x – 3 = x² – ½ x – ³∕₂
Kemungkinan akar dari persamaan adalah pembagi bulat dari a₀ => pembagi bulat dari – ³∕₂ adalah 1, - 1, ³∕₂, -³∕₂. Karena P(x) berderajat 2 maka paling banyak akar dari p(x) adalah 2.
2. Penjumlahan dan pengurangan : f(x) = 2x⁴ - 3x² + 5x – 6, g(x) = 2x³ - 7x + 10
f(x) + g(x) => 2x⁴ + 0x³ – 3x² + 5x – 6
0x⁴ + 2x³ + 0x² - 7x + 10 +
2x⁴ + 2x³ – 3x² – 2x + 4
3. Menentukan nilai polynomial :
a. Dengan cara substitusi :
contoh : Tentukan nilai dari P(x) = 3x⁴ + 2x² - 5x + 6 untuk x = 2
Jawab : nilai polynomial untuk x = 2 => P(2) = 3(2)⁴ + 2(2)² - 5(2) + 6 = 48 + 8 – 10 + 6 = 52
b. Dengan skema :
| 3 0 2 -5 6
2 | 6 12 28 46 +
3 6 14 23 |52 ==> P(2)
Suku banyak f(x) = 2x⁵ – 3x⁴ + 2x³– px + 10, untuk x = 2 adalah f(2) = 38. Berapakah nilai p?
| 2 -3 2 0 -p 10
2 | 4 2 8 16 2(-p+16) +
2 1 4 8 -p+16 |10 – 2p + 32 ==> f(2)
f(2) = 42 – 2p ==> 38 = 42 – 2P <=> 2P = 4 <=> P = 2
4. Pembagian suku banyak
P(x) : B(x) = H (x) + S ==> P(x) => polynomial; B(x) => pembagi; H(x) => hasil bagi; S => sisa
pembagian Sisa pembagian oleh (x - k) terhadap P(x) = aₔxⁿ + aₔ₋₁xⁿ⁻ⁱ + an₋₂xⁿ⁻² + … + a₂x² + a₁x +
a₀ adalah P(x) => P(x) = (x – k)H(x) + S; dimana S = P(k)
Contoh 1 : (x³ - 7x² + 4x + 50) : (x – 3) = x² - 4x – 8 dengan sisa = 26
Cara 1 pembagian bersusun :
x² - 4x - 8 => hasil pembagian
x-3 | x³ - 7x² + 4x + 50
| x³ - 3x²-
- 4x² + 4x
- 4x² + 12x -
-8x + 50
-8x + 24 -
26; ==> sisa pembagian
Cara 2 :
3 | 1 -7 4 50
| 3 -12 -24 +
1 -4 -8 | 26 ==> sisa pembagian
Hasil pembagian: 1x² - 4x – 8
Cara 3 :
Sisa pembagian oleh x – 3 => x = 3 => sisa = P(3)
P(x) = x³ - 7x² + 4x + 50 = 3³ - 7.3² + 4.3 + 50 = 27 – 63 + 12 + 50 = 26
Contoh 2 : (x³ - 7x² + px + 50) : (x – 3) sisa 26, tentukan nilai p
Jawab :
Sisa = P(3) => 26 = 3³ - 7.3² + p.3 + 50
<=> 26 = 27 – 63 + 3p + 50
<=> 26 = 14 + 3p <=> 3p = 12 <=> p = 4
b. Pembagian suku banyak oleh (ax + b)
P(x) : (ax + b) <=> P(x) = (x + b/a) H(x) + sisa <=> P(x) = 1/a (ax + b)[H(x)/a] + sisa <=> P(x) = (ax + b)H(x) + sisa
Contoh : Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari (4x³ - 10x² + 14x – 15) : (2x – 5)
Jawab :
x = 5/2 | 4 -10 14 -15
| 10 0 35
4 0 14 |20 => sisa
Hasil bagi : (4x2+0x+14)/2=2x2+7
c. Pembagian suku banyak oleh ax2+bx+c dengan a≠0
- Jika ax2+bx+c dapat difaktorkan, maka :
= (px + q)(rx + t).H(x) + (A₁x + A₀)
Untuk x = -q/p diperoleh P(-q/p) = 0.H(x) + (-q/pA₁ + A₀) => P(-q/p) = -q/pA₁ + A₀
Untuk x = -t/r diperoleh P(-t/r) = 0.H(x) + (-t/rA₁ + A₀) => P(-t/r) = -t/rA₁ + A₀
Dengan eliminasi dapat diperoleh nilai A1 dan Ao (sisa pembagian)
- Jika pembagi (ax² + bx + c) TIDAK dapat difaktorkan, maka harus digunakan dengan cara pembagian biasa
Contoh : Tentukan hasil pembagian dan sisa dari : (x³ - x² + 4x – 4) : (x² - 1)
Jawab :
(x³ - x² + 4x – 4) : (x² - 1) = (x³ - x² + 4x – 4) : (x - 1)(x + 1)
x = 1 | 1 -1 4 -4
| 1 0 4 +
1 0 4 |0 => sisa => 1 A₁ + A₀ = 0
x = -1 | 1 -1 4 -4
| -1 2 -6 +
1 -2 6 |-10 => sisa => -1A₁ + A₀ = - 10
Eliminasi :
1 A₁ + A₀ = 0
-1 A₁ + A₀ = -10 +
0 +2A₀ = -10
A₀ = -5 => 1A₁ + -5 = 0 => A₁ = 5 Jadi sisa pembagiannya = 5x – 5
Hasil pembagiannya :
x – 1 => hasil pembagian
x² - 1 | x³ - x² + 4x – 4
x³ - x -
-x² + x
-x² + 1 -
x – 1 – 4 => sisa pembagian
Contoh 2 : (2x⁴ – 3x³ + 5x² + x – 7) : (x² – x + 3) = …
Karena pembagi x² – x + 3 tidak dapat difaktorkan maka :
2x² – x => hasil pembagian
x² - x + 3 | 2x⁴ – 3x³ + 5x² + x – 7
2x⁴ - 2x³ + 6x² -
- x³ - x² + x
- x³ - x² - 3x -
- 2x –7 => sisa pembagian
Teorema Sisa
Jika suku banyak P(x) yang berderajat n dibagi dengan (ax + b) maka sisanya adalah P(-b/a)
Jika suku banyak P(x) yang berderajat n dibagi dengan (x – a)(x – b) maka sisanya adalah A₁x + A₀ dimana P(a) = A₁a + A₀ dan P(b) = A₁b + A₀
Teorema Faktor
(ax + b) adalah factor dari P(x) jika P(-b/a) = 0
Jika P(p) = 0 maka p adalah pembagi a₀
Diketahui, P(x) suku banyak dengan bentuk: P(x) = aₔÿⁿ + aₔ₋₁ÿⁿ⁻ⁱ + an₋₂ÿⁿ⁻² + … + a₂ÿ² + a₁ÿ + a₀, (x – k) adalah factor linear P(x) berderajat n maka persamaan P(x) = 0 maksimum mempunyai n buah akar.
Contoh 1: Tentukan akar-akar persamaan x² – 2x – 3 = 0
Jawab :
Kemungkinan akar dari persamaan adalah pembagi bulat dari a₀ => pembagi bulat dari – 3 adalah 1, - 1, 3, -3. Karena P(x) berderajat 2 maka paling banyak akar dari p(x) adalah 2.
- Untuk k = 1=> P(1) = (1)² – 2(1) – 3 = 1 – 2 – 3 = - 4, P(1) ≠ 0 maka x = 1 bukan factor P(x)
- Untuk k = -1 => P(-1) = (-1)² – 2(-1) – 3 = 1 + 2 – 3 = 0, P(-1) = 0 maka x = -1 factor P(x) => (x + 1) factor P(x)
- Untuk k = 3 => P(3) = (3)² – 2(3) – 3 = 9 – 6 – 3 = 0, P(3) = 0 maka x = 3 factor P(x) => (x – 3) factor P(x)
- Untuk k = -3 => P(-3) = (-3)² – 2(-3) – 3 = 9 + 6 – 3 = 12, P(-3) ≠ 0 maka x = -3 bukan factor P(x). Jadi hasil pemfaktoran x² – 2x – 3 = (x + 1)(x – 3)
Contoh 2: Tentukan akar-akar persamaan 2x² – x – 3 = 0
Jawab :
2x² – x – 3 = x² – ½ x – ³∕₂
Kemungkinan akar dari persamaan adalah pembagi bulat dari a₀ => pembagi bulat dari – ³∕₂ adalah 1, - 1, ³∕₂, -³∕₂. Karena P(x) berderajat 2 maka paling banyak akar dari p(x) adalah 2.
- Untuk k = 1 => P(1) = (1)² – ½(1) – ³∕₂ = 1 – ½ – ³∕₂ = - ½ , P(1) ≠ 0 maka x = 1 bukan factor P(x)
- Untuk k = -1 => P(-1) = (-1)² – ½(-1) – ³∕₂ = 1 + ½ – ³∕₂ = 0, P(-1) = 0 maka x = -1 factor P(x) => (x + 1) factor P(x)
- Untuk k = ³∕₂ => P(³∕₂) = (³∕₂)² – ½ (³∕₂) – ³∕₂ = ⁹⁄₄ – ³⁄₄ – ³∕₂ = 0, P(³∕₂) = 0 maka x = ³∕₂ factor P(x) (x – ³∕₂) => (2x – 3) factor P(x)
- Untuk k = -³∕₂ => P(-³∕₂) = (-³∕₂)² – ½ (-³∕₂) – ³∕₂ = ⁹⁄₄ + ³⁄₄ – ³∕₂ = ³∕₂, P(-³∕₂) ≠ 0 maka x = -³∕₂ bukan factor P(x). Jadi hasil pemfaktoran 2x² – x – 3 = (x + 1)(2x – 3)
Demikianlah Info postingan berita Rangkuman Materi Polynomial dan contoh soalnya
terbaru yang sangat heboh ini Rangkuman Materi Polynomial dan contoh soalnya, mudah-mudahan bisa memberi manfaat untuk anda semua. baiklah, sekian info artikel kali ini.
Anda sedang membaca posting tentang Rangkuman Materi Polynomial dan contoh soalnya dan berita ini url permalinknya adalah https://nyimakpelajaran.blogspot.com/2016/10/rangkuman-materi-polynomial-dan-contoh.html Semoga info lowongan ini bisa bermanfaat.
0 Response to "Rangkuman Materi Polynomial dan contoh soalnya"
Posting Komentar